Построение примеров и контрпримеров.

Математическое мышление - творческое мышление, со всеми особенностями, присущими творческому мышлению. Процесс  решения нестандартно поставленной математической задачи - творческий процесс.

Контпример к утверждению — это пример, который показывает, что данное утверждение неверно. Построение контрпримера — обычный способ опровержения гипотез.

Задачи:

1. Приведите контрпример к каждому из следующих утверждений.

а)Все простые числа — нечетные.

б)Все прямоугольники являются квадратами.

в)Каждое натуральное число либо простое, либо составное.

г)Все четырехугольники, у которых все стороны равны, являются квадратами.

Решение: а) 2; б) прямоугольник со сторонами 1 и 2; в) 1; г) ромб, не являющийся квадратом.
В вершинах правильного девятиугольника расставляют числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, после чего на каждой диагонали пишут произведение чисел, стоящих на её концах. Можно ли так расставить числа в вершинах, чтобы все числа на диагоналях были разные?
Решение:
Составим таблицу умножения для чисел от 1 до 9.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1
2	2
3	3	6
4	4	8	12
5	5	10	15	20
6	6	12	18	24	30
7	7	14	21	28	35	42
8	8	16	24	32	40	48	56
9	9	18	27	36	45	54	63	72

Произведение для каждых двух сомножителей мы записали в таблицу только один раз. То есть, если, например, в клетку 4×7 мы поставили число 28, то клетку 7×4 оставили пустой. Мы также не заполнили клетки 1×1, 2×2, 3×3 и т.  д. , потому что такие произведения нам встретиться не могут (в условии каждое число дано только один раз).

Мы видим, что некоторые значения произведений встречаются по два раза (они выделены жирным шрифтом), а остальные - по одному разу.

Например,
1×6 = 2×3 = 6.

Чтобы число 6 не оказалось написанным на двух диагоналях, нужно поставить рядом (на концах одной их сторон 9-угольника; сторона диагональю не считается) или числа 1 и 6, или числа 2 и 3 (разумеется, можно разместить и 1 и 6 рядом друг с другом, и 2 и 3 рядом друг с другом - тогда число 6 не будет написано вообще ни на одной диагонали). Аналогично следует поступить и с другими такими сомножителями.

Составим полный список значений произведений, которые в таблице встречаются по два раза (и укажем, как именно эти значения получаются):

Нам достаточно расставить числа так, чтобы из каждой строчки сомножители хотя бы одного произведения стояли рядом (то есть на стороне 9-угольника, а не на диагонали). Например, это можно сделать так (мы поставили рядом сомножители первого произведения в каждой строчке):

-3-8-1-6-2-9-4-5-7-
Ответ: Да, можно.

2. Вася думает, что если площадь первого прямоугольника больше площади второго, а также периметр первого больше периметра второго, то из первого можно вырезать второй. Прав ли он?

Решение: Из прямоугольника 1×100 нельзя вырезать квадрат 2×2.

3. Гриб называется плохим, если в нем не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие?

Решение: Пусть в каждом плохом грибе ровно 10 червей, а в хорошем червей нет. Далее, пусть из каждого плохого гриба по одному червю переползут в хорошие, по 9 в каждый. В результате в каждом грибе окажется по 9 червей, и все грибы будут хорошими.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Найди ложные общие утверждения и приведи для них контрпример. Сформу­лируй их отрицание с использованием оборота “Существует хотя бы один”.
1)   Все простые числа нечетны.
2)   Все нечетные числа простые.
3)  Любое число, кратное 9, кратно и 3.
4)   Любое число, кратное 3, кратно и 9.
5)  Каждое простое число имеет не больше двух делителей.
6)   Всякое число, которое имеет не больше двух делителей, - простое.
2.Можно ли расположить 12 одинаковых монет вдоль стенок большой квадратной коробки так, чтобы вдоль каждой стенки лежало ровно:

a)по 2 монеты;

б)по 3 монеты;

в)по 4 монеты;

г)по 5 монет;

д)по 6 монет;

е)по 7 монет? Монеты можно класть друг на друга.

3.Приведите контрпример к каждому из следующих утверждений.

а)Все четырёхугольники, у которых все стороны равны, — квадраты.

б)Через любые три точки плоскости можно провести прямую.

в)Через любые три точки плоскости можно провести окружность.

г)Все простые числа — нечётные.

д)Если число делится на 2 и на 6, то оно делится и на 12.

е)Если число a делится на 15 и на b, то оно делится и на 15b.

4.Выберите 24 клетки в прямоугольнике 5 × 8 и проведите в каждой выбранной клетке одну из диагоналей так, чтобы никакие две проведенные диагонали не имели общих концов.