Факториал и его свойства.

                                              

Факториал – так называют часто встречающуюся в практике функцию, определённую для целых неотрицательных чисел. Название функции происходит от английского математического термина factor – «сомножитель». Обозначается она n!. Знак факториала «!» был введён в1808 году во французском учебнике Хр. Крампа.

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC

ABDC  BADC  CADB  DACB

ACBD  BCAD  CBAD  DBAC

ACDB  BCDA  CBDA  DBCA

ADBC  BDAC  CDAB  DCAB

ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Факториал нуля равен единице:

0!=1

   

Так же используются факториалы по четным и по нечетным числам. Обозначаются они следующим образом: (2n)!! – двойной факториал по всем четным числам до 2n :

(2n)!!= 2*4*6*....*(2n-2)*(2n)

   

(2n+1)!! – факториал по всем нечетным числам до (2n+1) :

(2n+1)!!=1*3*5*....*(2n-1)*(2n+1)

   

 Эти факториалы связаны равенством

2n!!*(2n+1)!!=(2n+1)! или 2n!!*(2n-1)!!=2n!

Факториал широко используется в комбинаторике: перестановки, размещения, сочетания – все они выражаются через факториалы.

Примеры факториалов и их решение.

 Задания для самостоятельной работы.

 № 1               
5!+4!=

№ 2           
 7!−5!4!=

№ 4 Сократить дробь: